Svarið er 22.

Látum tölurnar tvær vera x og y.

Tilgreind skilyrði eru:

• Summa ferninga tveggja talna er 80.x² + y² = 80; mismunur ferningsins á milli tölanna tveggja er 36. (xy) ² = 36x²-2xy + y² = 36

Taktu annað skilyrðið og öðlast gildi fyrir x².

• x²-2xy + 2xy + y²-y² = 36 + 2xy-y²x² = -y² + 2xy + 36

Skiptu út x² í fyrsta ástandi með afleiddu gildi.

• x² + y² = 80 (-y² + 2xy + 36) + y² = 80y²-y² + 2xy + 36 = 802xy + 36–36 = 80–362xy ÷ 2 = 44 ÷ 2xy = 22

Þannig að varan af tölunum tveimur (x, y) er 22.

Fyrsta skilyrði:

$a^2+b^2=80$

Annað skilyrði:

$(a-b)^2=36$

Frá öðru ástandi:

$a^2-2ab+b^2=36$

.

Skiptu um fyrsta skilyrðið:

$80-2ab=36$

, endurskipuleggja

$2ab=80-36=44$

Eins og þetta

$2ab=44$

og

$ab=22$

.

Svarið: varan er 22.

Ef þú vilt leysa allt kerfið: munur er

$\sqrt{36}=6$

og vara er

$22$

, svo fyrir

$a>b$

,

$(x+a)(x-b)=x^2+(a-b)x-ab$

. Svo þegar við fáum lausnirnar fyrir

$x^2+6x-22=0$

Við getum leyst vandamálið.

Lausnin fyrir

$x^2+6x-22=0$

er

$x=\dfrac{-6\pm\sqrt{36+88}}{2}=-3\pm\sqrt{31}$

. Eins og þetta

$a=\sqrt{31}+3$

og

$b=\sqrt{31}-3$

.

Það er auðvelt að sanna að þessar tvær tölur uppfylla skilyrði spurningarinnar og svarið.

Fyrsta skilyrði:

[stærðfræði] a ^ 2 + b ^ 2 = 80 [/ stærðfræði]

$\sqrt{31}+3~,~\sqrt{31}-3$

[stærðfræði] (ab) ^ 2 = 36 [/ stærðfræði]

$31-9=22$

[stærðfræði] a ^ 2-2ab + b ^ 2 = 36 [/ stærðfræði]

$-\sqrt{31}+3~,~-\sqrt{31}-3$

Skiptu um fyrsta skilyrðið:

$31–9=22$

, endurskipuleggja

$x^2+y^2=80$

Eins og þetta

$(x-y)^2=x^2–2xy-y^2=36$

og

[stærðfræði] frá = 22 [/ stærðfræði]

$2xy=44$

$xy = 22$

Ef þú vilt leysa allt kerfið: munur er

[stærðfræði] \ sqrt {36} = 6 [/ stærðfræði]

og vara er

[stærðfræði] 22 [/ stærðfræði]

, svo fyrir

[stærðfræði] a> b [/ stærðfræði]

,

[stærðfræði] (x + a) (xb) = x ^ 2 + (ab) x-ab [/ stærðfræði]

. Svo þegar við fáum lausnirnar fyrir

[stærðfræði] x ^ 2 + 6x-22 = 0 [/ stærðfræði]

Við getum leyst vandamálið.

Lausnin fyrir

[stærðfræði] x ^ 2 + 6x-22 = 0 [/ stærðfræði]

er

[stærðfræði] x = \ dfrac {-6 \ pm \ sqrt {36 + 88}} {2} = - 3 \ pm \ sqrt {31} [/ stærðfræði]

. Eins og þetta

[stærðfræði] a = \ sqrt {31} +3 [/ stærðfræði]

og

[stærðfræði] b = \ sqrt {31} -3 [/ stærðfræði]

.

Það er auðvelt að sanna að þessar tvær tölur uppfylla skilyrði spurningarinnar og svarið.