Ef summan af reitum tveggja talna er 80 og mismunur ferningsins á milli tveggja talna er 36, hver er þá afrakstur tveggja talna?


svara 1:

Svarið er 22.

Látum tölurnar tvær vera x og y.

Tilgreind skilyrði eru:

  • Summa ferninga tveggja talna er 80.x² + y² = 80; mismunur ferningsins á milli tölanna tveggja er 36. (xy) ² = 36x²-2xy + y² = 36

Taktu annað skilyrðið og öðlast gildi fyrir x².

  • x²-2xy + 2xy + y²-y² = 36 + 2xy-y²x² = -y² + 2xy + 36

Skiptu út x² í fyrsta ástandi með afleiddu gildi.

  • x² + y² = 80 (-y² + 2xy + 36) + y² = 80y²-y² + 2xy + 36 = 802xy + 36–36 = 80–362xy ÷ 2 = 44 ÷ 2xy = 22

Þannig að varan af tölunum tveimur (x, y) er 22.


svara 2:

Fyrsta skilyrði:

a2+b2=80a^2+b^2=80

Annað skilyrði:

(ab)2=36(a-b)^2=36

Frá öðru ástandi:

a22ab+b2=36a^2-2ab+b^2=36

.

Skiptu um fyrsta skilyrðið:

802ab=3680-2ab=36

, endurskipuleggja

2ab=8036=442ab=80-36=44

Eins og þetta

2ab=442ab=44

og

ab=22ab=22

.

Svarið: varan er 22.

Ef þú vilt leysa allt kerfið: munur er

36=6\sqrt{36}=6

og vara er

2222

, svo fyrir

a>ba>b

,

(x+a)(xb)=x2+(ab)xab(x+a)(x-b)=x^2+(a-b)x-ab

. Svo þegar við fáum lausnirnar fyrir

x2+6x22=0x^2+6x-22=0

Við getum leyst vandamálið.

Lausnin fyrir

x2+6x22=0x^2+6x-22=0

er

x=6±36+882=3±31x=\dfrac{-6\pm\sqrt{36+88}}{2}=-3\pm\sqrt{31}

. Eins og þetta

a=31+3a=\sqrt{31}+3

og

b=313b=\sqrt{31}-3

.

Það er auðvelt að sanna að þessar tvær tölur uppfylla skilyrði spurningarinnar og svarið.


svara 3:

Fyrsta skilyrði:

[stærðfræði] a ^ 2 + b ^ 2 = 80 [/ stærðfræði]

31+3 , 313\sqrt{31}+3~,~\sqrt{31}-3

[stærðfræði] (ab) ^ 2 = 36 [/ stærðfræði]

319=2231-9=22

[stærðfræði] a ^ 2-2ab + b ^ 2 = 36 [/ stærðfræði]

31+3 , 313-\sqrt{31}+3~,~-\sqrt{31}-3

Skiptu um fyrsta skilyrðið:

319=2231–9=22

, endurskipuleggja

x2+y2=80x^2+y^2=80

Eins og þetta

(xy)2=x22xyy2=36(x-y)^2=x^2–2xy-y^2=36

og

[stærðfræði] frá = 22 [/ stærðfræði]

2xy=442xy=44

xy=22xy = 22

Ef þú vilt leysa allt kerfið: munur er

[stærðfræði] \ sqrt {36} = 6 [/ stærðfræði]

og vara er

[stærðfræði] 22 [/ stærðfræði]

, svo fyrir

[stærðfræði] a> b [/ stærðfræði]

,

[stærðfræði] (x + a) (xb) = x ^ 2 + (ab) x-ab [/ stærðfræði]

. Svo þegar við fáum lausnirnar fyrir

[stærðfræði] x ^ 2 + 6x-22 = 0 [/ stærðfræði]

Við getum leyst vandamálið.

Lausnin fyrir

[stærðfræði] x ^ 2 + 6x-22 = 0 [/ stærðfræði]

er

[stærðfræði] x = \ dfrac {-6 \ pm \ sqrt {36 + 88}} {2} = - 3 \ pm \ sqrt {31} [/ stærðfræði]

. Eins og þetta

[stærðfræði] a = \ sqrt {31} +3 [/ stærðfræði]

og

[stærðfræði] b = \ sqrt {31} -3 [/ stærðfræði]

.

Það er auðvelt að sanna að þessar tvær tölur uppfylla skilyrði spurningarinnar og svarið.