Hver er grunnmunurinn á endanlegu setti og óendanlegu setti?


svara 1:

Ég er að skrifa grunnmuninn á 3 flokkum.

1: Endanlegt sett

2: Teljanleg óendanleg setning

3: Óteljandi óendanleg magn.

Við getum greint 3 flokka hér að ofan með því að athuga fjölda þeirra. En málið er hvernig á að athuga teljanleika ...

Í FINITE SETS er auðvitað hægt að telja þættina, td .: A = {3, 5, 6, 9}, B = {a, e, i, o, u} C = {x: x <50, x tilheyrir N} o.s.frv. Í öllum þessum dæmum er hjartahyggjan mjög skýr.

En í ÓINHÆTTU SETUM: þættirnir mega eða mega ekki vera taldir. Við byrjum á óendanlegu settinu með minnstu hjartalínunni ...

Sett með náttúrulegum tölum N-> Óendanlegt, talanlegt

Uppsala heiltala W-> Óendanleg, talanleg

Heiltala sett Z -> Óendanlegt, talanlegt

Sett af skynsamlegum tölum Q -> Óendanleg, talanleg

Sett með óræðum tölum I -> Óendanlegt, óteljandi

Sett af rauntölum R -> Óendanlegt, óteljandi

Hægt er að telja óendanlegt mengi ef um er að ræða verkunarverkefni, þ.e.a.s. að það sé samsvörun á milli milli setþátta og náttúrulegs fjölda. Það þýðir að við getum raðað þáttunum í settinu í einfaldri röð eða í röðum og dálkum. og við erum mjög viss um hvaða númer kemur næst. Og auðvitað getum við raðað þáttunum hvað varðar fjölda ... eins og 1. þáttur, 2. þáttur, 3. þáttur ... ... svo framvegis ... Aðeins að þessar raðir og dálkar halda áfram að vera óendanlegir eru ...

Til dæmis… náttúrulegar tölur 1,2,3,4,5,6,7, ……… .. óendanleg

Heiltölur O, 1,2,3,4,5, ………… óendanleg

Heiltölur neikvæð óendanleiki… .. -4, -3, -2, -1,0,1,2,3,4,5 …… óendanlegt

Rökstuðningur 1/1, 1 / 2.1 / 3.1 / 4, …… ..

2/1, 2/2, 2/3, 2/4, 2/5 .......

3 / 1.3 / 2.3 / 3.3 / 4, ...

4 / 1.4 / 2.4 / 3.4 / 4.4 / 5 ........

Ef við höldum áfram svona getum við séð að öll möguleg hlé passar á listanum hér að ofan í einni röð eða öðrum dálki.

Svo öll ofangreind eru teljanleg óendanleg mengi.

Nú þegar við vitum að mengi rauntala er sameining tveggja settra, Rationals & Irrationals

Fjöldi rauntala er óteljandi, þar sem önnur skynsamleg og órökstudd tala er á milli tveggja rauntala. Aðlögunarverkefni milli atriða og náttúrulegra talna er því ekki mögulegt.

Mengið rauntölur er því óteljandi og hægt er að telja mengi skynseminnar. Fjárhæð óræðunnar hlýtur því að vera óteljandi. Ef þetta er ekki tilfellið verður mengi rauntala talanlegt, sem er ekki raunin.


svara 2:

Þegar við erum með endanlegt sett og teljum þætti þess (það er að passa þá einn við einn við náttúrulegu tölurnar) endar talningin og samsvarandi náttúruleg tala sem við enduðum með er fjöldi þátta í settinu.

Ef við höfum óendanlega sett og teljum þætti þess lýkur talningunni ekki. Það er engin náttúruleg tala sem samsvarar fjölda þátta í settinu.

Það er grundvallarmunurinn. Með öðrum orðum, þá er ekki hægt að samsvara þætti lokabundins eins og eins og allra þátta

N\mathbb N

. Eða tæknilega séð er engin sprauta af

N\mathbb N

í endanlegu magni, en það er slík sprauta í óendanlegu magni.

Ennfremur hefur öll óendanleg mengi þá eiginleika að hægt er að fjarlægja suma þætti þess og samt er hægt að passa undirmengið sem myndast saman við upprunalega settið (t.d. er hægt að para náttúrulegum tölum einn við einn við undirmengið af jöfnum tölum). Þetta er ekki mögulegt með endanlegu setti. Reyndar er þetta aðgreinandi eiginleiki: það er hægt að nota til að skilgreina nauðsynlegan mun á lokabundnu og óendanlegu mengi.


svara 3:

Hægt er að setja óendanlega magn í réttan hluta. Endanlegt magn getur það ekki.

Við skulum taka það upp.

„Innspýting“ frá einni setningu í aðra þýðir að þú velur sérstöðu í „In“ setninguna fyrir hvern þátt í setningunni „Frá“.

Til dæmis, miðað við fjölda hliðar á teningnum og tölurnar 1-10, myndi innspýting frá hliðum til tölurnar setja mismunandi tölu á hvora hlið teningsins. Ef þú setur 1 á tvær mismunandi hliðar væri það ekki sprauta. Athugið að ekki þarf að nota alla þætti í settinu til inndælingar. Fjórar tölur voru ekki notaðar þegar sprautað var frá hliðum teningsins í 1-10.

„Réttur hlutmengi“ í settinu inniheldur alla þætti þess í settinu, en ekki allir þættir í settinu eru í hlutmenginu. Til dæmis er hópurinn með 1 stafa frumtölu rétt undirmagn frá 0 til 9, þar sem 2, 3, 5 og 7 eru allir í 0 til 9, en 8 er ekki í settinu með 1 stafa frumtölu.

Við skulum skoða „náttúrulegar tölur“ og „jafnvel náttúrulegar tölur“. Ljóst er að allar jafnar náttúrulegar tölur eru náttúrulegar tölur, því dæmisögur eru undirmengi náttúrulegra gilda. Það er líka ljóst að 3 er náttúruleg tala sem er ekki jöfn. Svo Evens eru raunverulegur undirhópur náttúrunnar.

En hægt er að tengja hvaða náttúrulega fjölda sem er við einstakt, jafnvel náttúrulegt númer. Þú hefur það

12,24,36,,147294,1\to2, 2\to4, 3\to6, \ldots, 147\to294, \ldots

. Þessi kortlagning er innspýting.

Þetta þýðir að náttúrulegar tölur eru óendanleg tala.

Sem annað dæmi skaltu íhuga að setja stafina með endanlegri lengd. Þetta sett lítur út

Σ={"","a","ab","aab","bob",}\Sigma^* = \{"", "a", "ab", "aab", "bob", \ldots\}

þrátt fyrir að ég hafi ekki sett þá í ákveðna röð. Einn af þeim þáttum í settinu er strengurinn, sem samanstendur af bókstafnum "a" sem er endurtekinn Googleplex tíma. Skoðaðu nú settið

bΣ={"b"+σσΣ}b\Sigma^* = \{ "b"+\sigma | \sigma \in \Sigma^*\}

eða sett strengjanna sem myndast með því að taka hvern streng inn

Σ\Sigma^*

og forskeyti stafinn „b“. Eins og þetta

bΣ={"b","ba","bab","baab","bbob",}b\Sigma^* = \{"b", "ba", "bab", "baab", "bbob", \ldots\}

, þar á meðal strenginn sem samanstendur af bókstafnum "b" og síðan Googleplex stafnum "a". Vegna þess að sérhver þáttur í

\bΣ\b\Sigma^*

isafinitelengthstringofletters,itisasubsetofΣ.Sincethereareelementsof[math]Σ[/math]notin[math]bΣ[/math],itisapropersubset.Andsinceeveryelementof[math]Σ[/math]correspondstoauniqueelementin[math]bΣ[/math],thereisaninjection[math]ΣbΣ[/math].So[math]Σ[/math]isaninfiniteset. is a finite-length string of letters, it is a subset of \Sigma^*. Since there are elements of [math]\Sigma^*[/math] not in [math]b\Sigma^*[/math], it is a proper subset. And since every element of [math]\Sigma^*[/math] corresponds to a unique element in [math]b\Sigma^*[/math], there is an injection [math]\Sigma^* \to b\Sigma^*[/math]. So [math]\Sigma^*[/math] is an infinite set.

Hin tvö svörin tala um „talanlegt“ og „óteljandi“ magn, sem eru í raun ekki í brennidepli málsins. Í grófum dráttum er sett „talanlegt“ ef hægt er að sprauta því í mengi náttúrulegra talna. Öll endanleg mengi eru talanleg, náttúrleg fjöldi er greinilega talinn samkvæmt þessari skilgreiningu.

Σ\Sigma^*

er talanlegt.

Stærðfræðingurinn Georg Cantor hefur sannað að það er ómögulegt að sprauta rafmagnssætinu (sett allra undirhópa) í settið - þú getur ekki sprautað

{,{1},{2},{1,2}}\{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1,2\}\}

í

{1,2}\{1,2\}

til dæmis. Þetta þýðir að þú getur ekki sprautað þig

P(N)N\mathcal{P}(\mathbb{N}) \to \mathbb{N}

, þess vegna

P)N)\mathcal{P})\mathbb{N})

ekki hægt að telja eða ekki hægt að telja. Svo að óendanleg mörg eru teljanleg og sum óendanleg sett eru óteljandi.

Hugmyndin um að hægt sé að sprauta óendanlegu magni í rétt undirmengi af sjálfu sér er í raun skilgreiningin á því hvað það þýðir að magnið er óendanlegt.